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Déterminer la dérivabilité et le domaine de dérivabilité

Fonction polynôme et dérivabilité ⭐

Soit la fonction $f(x)=x^3-2x^2+5x-1$.

  1. Donner l’ensemble de définition de $f$. ($0,5$ point)
  2. $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ? Justifier. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($1,5$ point)

Correction :

  1. Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R}$
  2. Oui, toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  3. $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 4x + 5$

Fonction dérivable ou non ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\sqrt{x-1}$.

  1. Donner l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. Dire sur quel intervalle $f$ est dérivable. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x - 1 \geq 0$, donc $x \geq 1$

    Ensemble de définition : $D_f = [1 ; +\infty[$

  2. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0 ; +\infty[$

    Donc $f$ est dérivable sur $]1 ; +\infty[$

  3. $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x) = x - 1$

    $f^{\prime}(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}$

Domaine de dérivabilité ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.

  1. Donner l’ensemble de définition. ($1$ point)
  2. Justifier que $f$ est dérivable sur cet ensemble. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x - 2 \neq 0$, donc $x \neq 2$

    Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R} \setminus {2}$ ou $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$

  2. $f$ est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition.

  3. $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x) = x - 2$

    $f^{\prime}(x) = -\dfrac{u^{\prime}(x)}{[u(x)]^2} = -\dfrac{1}{(x-2)^2}$

Fonction dérivable ou non ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\sqrt{x-1}$.

  1. Donner l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. Dire sur quel intervalle $f$ est dérivable. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x - 1 \geq 0$, donc $x \geq 1$

    Ensemble de définition : $D_f = [1 ; +\infty[$

  2. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0 ; +\infty[$

    Donc $f$ est dérivable sur $]1 ; +\infty[$

  3. $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x) = x - 1$

    $f^{\prime}(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}$

Fonction inverse ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

  1. Donner l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. Justifier que $f$ est dérivable sur son ensemble de définition. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x \neq 0$

    Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R}^*$ ou $\mathbb{R} \setminus {0}$

  2. $f$ est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition.

  3. $f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

Domaine de dérivabilité ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.

  1. Donner l’ensemble de définition. ($1$ point)
  2. Justifier que $f$ est dérivable sur cet ensemble. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x - 2 \neq 0$, donc $x \neq 2$

    Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R} \setminus {2}$ ou $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$

  2. $f$ est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition.

  3. $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x) = x - 2$

    $f^{\prime}(x) = -\dfrac{u^{\prime}(x)}{[u(x)]^2} = -\dfrac{1}{(x-2)^2}$

Fonction avec racine carrée ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\sqrt{3x+6}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $3x + 6 \geq 0$, donc $x \geq -2$

    Ensemble de définition : $D_f = [-2 ; +\infty[$

  2. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0 ; +\infty[$

    On doit avoir $3x + 6 > 0$, donc $x > -2$

    Domaine de dérivabilité : $]-2 ; +\infty[$

  3. $f^{\prime}(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+6}}$

Fonction produit et dérivabilité ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=x\sqrt{x}$ définie pour $x \geq 0$.

  1. Réécrire $f(x)$ sous la forme $x^n$. ($1$ point)
  2. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. $f(x) = x \times x^{1/2} = x^{3/2}$
  2. Domaine de dérivabilité : $]0 ; +\infty[$
  3. $f^{\prime}(x) = \dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$

Fonction rationnelle ⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. $f$ est-elle dérivable sur son ensemble de définition ? ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x + 3 \neq 0$, donc $x \neq -3$

    Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R} \setminus {-3}$

  2. Oui, toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

  3. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = x + 3$

    $f^{\prime}(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{[v(x)]^2} = \dfrac{2(x+3) - (2x+1) \times 1}{(x+3)^2}$

    $f^{\prime}(x) = \dfrac{2x + 6 - 2x - 1}{(x+3)^2} = \dfrac{5}{(x+3)^2}$

Étude de dérivabilité en un point ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=|x|$.

  1. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. ($3$ points)
  2. Conclure sur la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$. ($2$ points)

Correction :

  1. On étudie le taux d’accroissement en $0$ :

    $\limite_{h \to 0^+} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{|h|}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = 1$

    $\limite_{h \to 0^-} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{|h|}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1$

    Les limites à droite et à gauche sont différentes, donc $f$ n’est pas dérivable en $0$.

  2. Pour $x \neq 0$, on a $f(x) = x$ si $x > 0$ et $f(x) = -x$ si $x < 0$

    Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus {0}$ ou $\mathbb{R}^*$

Dérivabilité d’une fonction définie par morceaux ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

  1. Étudier la continuité de $f$ en $1$. ($2$ points)
  2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$. ($3$ points)

Correction :

  1. $\limite_{x \to 1^-} f(x) = \limite_{x \to 1^-} x^2 = 1$

    $\limite_{x \to 1^+} f(x) = \limite_{x \to 1^+} (2x-1) = 2 \times 1 - 1 = 1$

    $f(1) = 1^2 = 1$

    Les trois valeurs sont égales, donc $f$ est continue en $1$.

  2. Taux d’accroissement à gauche : $\limite_{h \to 0^-} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \limite_{h \to 0^-} (2 + h) = 2$

    Taux d’accroissement à droite : $\limite_{h \to 0^+} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{2(1+h) - 1 - 1}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{2h}{h} = 2$

    Les deux limites sont égales à $2$, donc $f$ est dérivable en $1$ et $f^{\prime}(1) = 2$.

Fonction avec valeur absolue ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=|x-3|$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($0,5$ point)
  2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $3$. ($3$ points)
  3. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$ et calculer $f^{\prime}(x)$ sur ce domaine. ($1,5$ point)

Correction :

  1. Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R}$

  2. $\limite_{h \to 0^+} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{|h|}{h} = \limite_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = 1$

    $\limite_{h \to 0^-} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{|h|}{h} = \limite_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1$

    Les limites sont différentes, donc $f$ n’est pas dérivable en $3$.

  3. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus {3}$

    Pour $x > 3$ : $f(x) = x - 3$, donc $f^{\prime}(x) = 1$

    Pour $x < 3$ : $f(x) = -(x-3) = 3 - x$, donc $f^{\prime}(x) = -1$

Fonction composée avec racine ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\sqrt{x^2-4}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($1,5$ point)
  2. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$. ($1,5$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($2$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x^2 - 4 \geq 0$

    $(x-2)(x+2) \geq 0$

    Par tableau de signes : $x \in ]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[$

  2. On doit avoir $x^2 - 4 > 0$

    Domaine de dérivabilité : $]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[$

  3. $f^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

Fonction rationnelle complexe ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-4}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. $f$ est-elle dérivable sur son ensemble de définition ? ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$ et simplifier. ($3$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x^2 - 4 \neq 0$, donc $x \neq \pm 2$

    Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R} \setminus {-2 ; 2}$

  2. Oui, $f$ est une fonction rationnelle dérivable sur son ensemble de définition.

  3. On a $\quad f(x)=\dfrac{u}{v}\quad$, donc :

    $\begin{array}{rcl} f^{\prime}(x) & = & \dfrac{u^{\prime}\times v - u \times v^{\prime}}{v^2} \\ & = & \dfrac{2x(x^2-4) - (x^2-1) \times 2x}{(x^2-4)^2} \\ & = & \dfrac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 2x}{(x^2-4)^2} \\ & = & \dfrac{-6x}{(x^2-4)^2} \\ \end{array}$

Fonction avec racine au dénominateur ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. ($1$ point)
  2. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$. ($1$ point)
  3. Calculer $f^{\prime}(x)$. ($3$ points)

Correction :

  1. On doit avoir $x + 1 > 0$ (strictement pour le dénominateur)

    Ensemble de définition : $D_f = ]-1 ; +\infty[$

  2. Le domaine de dérivabilité est le même que l’ensemble de définition : $]-1 ; +\infty[$

  3. $f(x) = (x+1)^{-1/2}$

    $f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{2}(x+1)^{-3/2} = -\dfrac{1}{2(x+1)^{3/2}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{(x+1)^3}}$

Dérivabilité d’une fonction avec deux expressions ⭐⭐⭐

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x < 0 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

  1. Étudier la continuité de $f$ en $0$. ($2$ points)
  2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. ($3$ points)

Correction :

  1. $\limite_{x \to 0^-} f(x) = 0$

    $\limite_{x \to 0^+} f(x) = \sqrt{1} = 1$

    $f(0) = \sqrt{1} = 1$

    Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n’est pas continue en $0$.

  2. Comme $f$ n’est pas continue en $0$, elle ne peut pas être dérivable en $0$.

Dérivabilité avec paramètre ⭐⭐⭐⭐

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x \leq 2 \\ 3x + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

  1. Exprimer la condition pour que $f$ soit continue en $2$ en fonction de $a$ et $b$. ($1,5$ point)
  2. Exprimer la condition pour que $f$ soit dérivable en $2$ en fonction de $a$ et $b$. ($2$ points)
  3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$. ($1,5$ point)

Correction :

  1. Pour la continuité en $2$ :

    $\limite_{x \to 2^-} f(x) = 4a + b$

    $\limite_{x \to 2^+} f(x) = 7$

    Condition : $4a + b = 7$

  2. Pour la dérivabilité en $2$ :

    À gauche :

    $\begin{array}{rcl}\limite_{h \to 0^-} \dfrac{a(2+h)^2 + b - (4a+b)}{h} &=& \limite_{h \to 0^-} \dfrac{a(4 + 4h + h^2) - 4a}{h} \\ &=& \limite_{h \to 0^-} (4a + ah) \\ &=& 4a\end{array}$

    À droite :

    $\begin{array}{rcl}\limite_{h \to 0^+} \dfrac{3(2+h) + 1 - 7}{h} &=& \limite_{h \to 0^+} \dfrac{3h}{h} \\ &=& 3\end{array}$

    Condition : $4a = 3$

  3. $4a = 3 \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}$

    $4a + b = 7 \Rightarrow 3 + b = 7 \Rightarrow b = 4$

    Donc $a = \dfrac{3}{4}$ et $b = 4$

Fonction avec valeur absolue et paramètre ⭐⭐⭐⭐

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x^2-a|$ où $a$ est un réel positif.

  1. Pour $a = 4$, déterminer les points où $f$ pourrait ne pas être dérivable. ($1$ point)
  2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$ lorsque $a = 4$. ($3$ points)
  3. Donner l’expression de $f^{\prime}(x)$ sur chaque intervalle de dérivabilité. ($1$ point)

Correction :

  1. $f$ pourrait ne pas être dérivable aux points où $x^2 - 4 = 0$

    Donc en $x = -2$ et $x = 2$

  2. Pour $x = 2$, on a : $f(2) = 0$

    À gauche de $2$ :

    Pour $x$ proche de $2$ avec $x < 2$, on a $x^2 < 4$ donc $f(x) = 4 - x^2$

    $\begin{array}{rcl}\limite_{h \to 0^-} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} &=& \limite_{h \to 0^-} \dfrac{4-(2+h)^2}{h} \\ &=& \limite_{h \to 0^-} \dfrac{-4h-h^2}{h} \\ &=& -4\end{array}$

    À droite de $2$ :

    Pour $x > 2$, on a $x^2 > 4$ donc $f(x) = x^2 - 4$

    $\begin{array}{rcl}\limite_{h \to 0^+} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} \\ &=& \limite_{h \to 0^+} \dfrac{(2+h)^2-4}{h} \\ &=& \limite_{h \to 0^+} \dfrac{4h+h^2}{h} \\ &=& 4\end{array}$

    Les limites sont différentes, donc $f$ n’est pas dérivable en $2$.

  3. Pour $x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[$, on a : $f^{\prime}(x) = 2x$

    Pour $x \in ]-2 ; 2[$, on a : $f^{\prime}(x) = -2x$