Exercices d’approfondissement

• Démonstration d’une formule ⭐⭐⭐⭐
• Fonction composée ⭐⭐⭐⭐
• Analyse complète ⭐⭐⭐⭐
• Démonstration de la dérivée d’une fonction carré ⭐⭐⭐⭐
• Dérivation et étude complète d’une fonction rationnelle ⭐⭐⭐⭐
• Étude de variations avec paramètre ⭐⭐⭐⭐
• Tangente et approximation affine ⭐⭐⭐⭐
• Étude d’un maximum dans un problème concret ⭐⭐⭐⭐
• Fonction composée et dérivabilité ⭐⭐⭐⭐
• Étude graphique et analytique croisée ⭐⭐⭐⭐
• Comparaison de deux fonctions par la dérivation ⭐⭐⭐⭐
• Étude complète avec interprétation physique ⭐⭐⭐⭐
• Étude d’un bénéfice en fonction de la production ⭐⭐⭐⭐

Démonstration d’une formule ⭐⭐⭐⭐

Barème : 6 points

On considère la fonction $f(x)=x^n$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.

1. Écrire le taux d’accroissement entre $x$ et $x+h$. (2 points)
2. Factoriser l’expression obtenue. (2 points)
3. Calculer la limite lorsque $h\to0$ et conclure. (2 points)

Fonction composée ⭐⭐⭐⭐

Barème : 6 points

Soit $f(x)=\sqrt{3x^2+1}$.

1. Identifier la fonction composée. (1 point)
2. Calculer $f^{\prime}(x)$. (3 points)
3. Étudier les variations de $f$. (2 points)

Analyse complète ⭐⭐⭐⭐

Barème : 8 points

Soit $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.

1. Donner l’ensemble de définition. (1 point)
2. Calculer $f^{\prime}(x)$. (3 points)
3. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$. (2 points)
4. Dresser le tableau de variation. (2 points)

Démonstration de la dérivée d’une fonction carré ⭐⭐⭐⭐

Barème : 6 points

On considère la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Écrire le taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$. (2 points)
2. Simplifier l’expression obtenue. (1,5 point)
3. Calculer la limite lorsque $h\to0$. (1,5 point)
4. Conclure sur l’expression de $f^{\prime}(x)$. (1 point)

Dérivation et étude complète d’une fonction rationnelle ⭐⭐⭐⭐

Barème : 8 points

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.

1. Donner l’ensemble de définition de $f$. (1 point)
2. Justifier que $f$ est dérivable sur son ensemble de définition. (1 point)
3. Calculer $f^{\prime}(x)$. (3 points)
4. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$. (1,5 point)
5. Dresser le tableau de variation de $f$. (1,5 point)

Étude de variations avec paramètre ⭐⭐⭐⭐

Barème : 7 points

Soit la fonction $f_a(x)=x^2+ax+1$ où $a$ est un réel.

1. Calculer $f_a^{\prime}(x)$. (2 points)
2. Résoudre $f_a^{\prime}(x)=0$ en fonction de $a$. (2 points)
3. Étudier les variations de $f_a$ selon les valeurs de $a$. (3 points)

Tangente et approximation affine ⭐⭐⭐⭐

Barème : 6 points

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0,+\infty[$.

1. Calculer $f^{\prime}(x)$. (2 points)
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=4$. (2 points)
3. Utiliser cette tangente pour donner une approximation de $\sqrt{4,1}$. (2 points)

Étude d’un maximum dans un problème concret ⭐⭐⭐⭐

Barème : 7 points

On souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’un carré de carton de côté $20$ cm. On découpe dans chaque coin un carré de côté $x$ cm.

1. Exprimer le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$. (2 points)
2. Donner l’ensemble de définition de $V$. (1 point)
3. Calculer $V^{\prime}(x)$. (2 points)
4. Étudier les variations de $V$ et déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal. (2 points)

Fonction composée et dérivabilité ⭐⭐⭐⭐

Barème : 6 points

Soit la fonction $f(x)=\sqrt{1+x^2}$.

1. Identifier les fonctions composées mises en jeu. (1 point)
2. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. (1 point)
3. Calculer $f^{\prime}(x)$. (2 points)
4. Étudier le sens de variation de $f$. (2 points)

Étude graphique et analytique croisée ⭐⭐⭐⭐

Barème : 8 points

La courbe d’une fonction $f$ est donnée ci-dessous.

1. Donner la valeur de $f^{\prime}(1)$. (1 point)
2. Donner le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$. (2 points)
3. Proposer une expression possible de $f^{\prime}(x)$ cohérente avec ces informations. (2 points)
4. Donner un exemple de fonction $f$ correspondant à cette dérivée. (3 points)

Comparaison de deux fonctions par la dérivation ⭐⭐⭐⭐

Barème : 7 points

On considère les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=3x$.

1. Calculer $f^{\prime}(x)$ et $g^{\prime}(x)$. (2 points)
2. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)$. (2 points)
3. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est plus rapide de variation que $g$. (2 points)
4. Interpréter graphiquement le résultat. (1 point)

Étude complète avec interprétation physique ⭐⭐⭐⭐

Barème : 8 points

La position d’un mobile est donnée par $s(t)=t^3-6t^2+9t$ où $t$ est exprimé en secondes et $s(t)$ en mètres.

1. Calculer la vitesse instantanée $v(t)$. (2 points)
2. Déterminer les instants où la vitesse est nulle. (2 points)
3. Étudier le sens de déplacement du mobile. (2 points)
4. Interpréter physiquement les résultats obtenus. (2 points)

Étude d’un bénéfice en fonction de la production ⭐⭐⭐⭐

Barème : 8 points

Une entreprise fabrique et vend des objets.

Chaque objet est vendu au prix de $140$ €.

La recette (en euros) est donc donnée par la fonction $R(x)=140x$, où $x$ représente le nombre d’objets produits et vendus.

Le coût de production (en euros) est donné par la fonction $C(x)=x^3-30x^2+300x+500$.

On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ objets, défini par $B(x)=R(x)-C(x)$.

1. Exprimer la fonction bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$. (2 points)
2. Justifier que la fonction $B$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. (1 point)
3. Calculer la dérivée $B^{\prime}(x)$. (2 points)
4. Résoudre l’équation $B^{\prime}(x)=0$. (1,5 point)
5. Étudier le signe de $B^{\prime}(x)$ et dresser le tableau de variation de $B$. (1,5 point)
6. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le bénéfice est maximal, puis calculer ce bénéfice maximal. (2 points)