Définir le taux d’accroissement et le nombre dérivé

• ⭐
  • Calcul d’un taux d’accroissement simple
  • Calculer un taux d’accroissement
• ⭐ ⭐
  • Nombre dérivé par définition
  • Lien entre taux d’accroissement et dérivée
  • Taux d’accroissement sur un intervalle
  • Taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$
• ⭐ ⭐ ⭐
  • Nombre dérivé par définition
  • Nombre dérivé en un point
• ⭐ ⭐ ⭐ ⭐
  • Interprétation géométrique du nombre dérivé

⭐

Calcul d’un taux d’accroissement simple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=3x+2$.

1. Calculer $f(1)$ et $f(4)$. (1 point)
2. Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $4$. (1 point)
3. Interpréter le résultat obtenu. (1 point)

Calculer un taux d’accroissement

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x^2-x+1$.

1. Calculer $f(1)$ et $f(3)$. (1 point)
2. Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $3$. (1 point)
3. Donner une interprétation du résultat obtenu. (1 point)

⭐ ⭐

Nombre dérivé par définition

Soit la fonction $f(x)=x^2$.

1. Écrire le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$. (1 point)
2. Simplifier l’expression obtenue. (1 point)
3. Calculer la limite lorsque $h\to0$. (1 point)
4. En déduire le nombre dérivé de $f$ en $a$. (1 point)

Lien entre taux d’accroissement et dérivée

Soit la fonction $f(x)=3x+2$.

1. Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$. (1 point)
2. Montrer que ce taux ne dépend pas de $h$. (1 point)
3. En déduire le nombre dérivé de $f$ en tout réel. (2 points)

Taux d’accroissement sur un intervalle

Soit la fonction $f(x)=x^2$.

1. Calculer $f(2)$ et $f(5)$. (1 point)
2. Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $2$ et $5$. (1,5 point)
3. Comparer ce taux à $f’(2)$ (sans le calculer précisément). (1,5 point)

Taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$

Soit la fonction $f(x)=2x^2-x$.

1. Écrire l’expression du taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$. (1,5 point)
2. Simplifier l’expression obtenue. (1,5 point)
3. Préciser ce que devient ce taux lorsque $h$ se rapproche de $0$. (1 point)

⭐ ⭐ ⭐

Nombre dérivé par définition

Soit la fonction $f(x)=x^2$.

1. Écrire le taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$. (1 point)
2. Simplifier l’expression obtenue. (2 points)
3. Calculer la limite lorsque $h\to0$. (1 point)
4. En déduire le nombre dérivé de $f$ en $x$. (1 point)

Nombre dérivé en un point

Soit la fonction $f(x)=x^2-3x+1$.

1. Écrire le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $1+h$. (1,5 point)
2. Simplifier l’expression obtenue. (1,5 point)
3. Calculer la limite lorsque $h\to0$. (1 point)
4. En déduire la valeur de $f’(1)$. (1 point)

⭐ ⭐ ⭐ ⭐

Interprétation géométrique du nombre dérivé

La courbe représentative d’une fonction $f$ est donnée ci-dessous :

1. Donner le signe du taux d’accroissement de $f$ entre $0$ et $1$. (1 point)
2. Donner le signe du taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $2$. (1 point)
3. Interpréter graphiquement la valeur de $f’(1)$. (1,5 point)
4. Expliquer le lien entre le nombre dérivé en un point et la pente de la tangente. (2,5 points)